보충 자료 : 유리수의 사칙 연산

본 자료는 인공지능을 활용하지 않고 작성되었음을 알립니다.

학습 목표

유리수의 사칙 연산을 연습하고, 부족한 부분을 점검해봅시다.

유의할 점

• 복잡한 계산을 다루고 있습니다. 천천히 풀어서 정답을 반드시 맞추겠다는 다짐으로 풀어봅시다 ✌️
• 연산 순서에 유의합니다. Khan Academy에서 소개하고 있는 기본 연산 순서를 참고합시다 😃
• 수업 시간에 더 쉽게 계산하는 방법에 대해 알아볼 것입니다. 일단 떠오르는 방법으로 풀어보고, 그 과정을 종이에 기록해봅시다 ✏️

Warm up. 아래 영상을 시청해봅시다.

https://www.youtube.com/watch?v=ol2yX9gwbZg&list=PLDZcGqoKA84HZHcTVK2CxXNRsu-2y76ML&index=2

아래 문제의 출처는 에이급 수학(중학교 1학년 1학기)입니다.

첫번째 문제. $\lvert A\rvert$를 구해봅시다.

\[A=3^4 \div \left(-1\frac{1}{2}\right)^2-\left(\left(-\frac{3}{4}\right)^3\times\left(2\frac{2}{3}\right)^2-\left(-2\right)^4\right)\]

• 첫번째 문제에 대한 해설 및 정답

  PEMDAS(Parentheses > Exponent > Multiplication = Division > Addition = Subtraction)의 원리로 계산한다. 이 때, 괄호는 반드시 안쪽부터 계산하며, 나눗셈이나 뺄셈은 각각 곱셈과 뺄셈으로 바꾸어서 계산한다. 단, 대분수(mixed fraction)는 최우선으로 계산한다. 절댓값을 구하라고 했으니, 마지막에서는 부호를 양($+$)으로 고쳐 쓴다.

  $A$의 계산 과정 : 링크

  정답 : $55$

두번째 문제. $B$의 값에 가장 가까운 정수를 구해봅시다.

\[B=-\left(-\frac{1}{2}\right)^3-\left(\left(-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{3}{2}\times\left(\left(-\frac{1}{3}\right)^3-\left(-\frac{3}{2}\right)^2\right)\right)\]

• 두번째 문제에 대한 해설 및 정답

  PEMDAS(Parentheses > Exponent > Multiplication = Division > Addition = Subtraction)의 원리로 계산한다. 가장 가까운 정수를 구하라고 했으니, 필요에 따라 소수 표현이나 대분수 표현으로 바꾸어서 정답을 찾는다.

  $B$의 계산 과정 : 링크

  정답 : $-4$

세번째 문제. $A, B, C$의 대소 관계를 부등호를 사용하여 나타내봅시다.

\[\begin{align*} A=\frac{12\times\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^4\right)}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ B=42\times\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{3}\right)-2\times\left(-3\right) \\ C=\frac{6}{7}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{28}+\frac{3}{7}\right)\div\frac{4}{15}\times\left(-\frac{14}{27}\right) \end{align*}\]

• 세번째 문제에 대한 해설 및 정답

  PEMDAS(Parentheses > Exponent > Multiplication = Division > Addition = Subtraction)의 원리로 계산한다. 가장 가까운 정수를 구하라고 했으니, 필요에 따라 소수 표현이나 대분수 표현으로 바꾸어서 정답을 찾는다.

  $A$의 계산 과정 : 링크

  $B$의 계산 과정 : 링크

  $C$의 계산 과정 : 링크

  정답 : $B<C<A$

의문 : 더 쉽게 풀 수는 없을까?

복잡한 계산을 더 쉽게 하는 방법에는 어떤 것들이 있는지 알아보자.

소인수분해를 이용하여 약분한다

소인수분해 (출처: onlinemath4all.com)

첫 수업에서, 인간은 원래 큰 수를 다루는 것에 익숙하지 않다는 것을 이야기한 적이 있다. 소인수분해를 이용한 약분의 핵심은 큰 수를 작은 수(소인수)로 쪼개서 생각하는 것이다.

첫번째 문제를 다시 살펴보자.

\[A=3^4 \div \left(-1\frac{1}{2}\right)^2-\left(\left(-\frac{3}{4}\right)^3\times\left(2\frac{2}{3}\right)^2-\left(-2\right)^4\right)\]

이 계산은 크게 세 가지 작업으로 나누어서 생각할 수 있다.

\[\begin{align} X&=3^4 \div \left(-1\frac{1}{2}\right)^2\textrm{를 계산하는 작업} \\ Y&=\left(-\frac{3}{4}\right)^3\times\left(2\frac{2}{3}\right)^2\textrm{를 계산하는 작업} \\ A&=X-\left(Y-(-2)^4\right) \textrm{를 계산하는 작업} \end{align}\]

만약 소인수분해를 활용하지 않는다면, $X$를 계산하기 위해 $3^4=81$을 계산하고, $\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$를 계산하고, 나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꿔서 $81\times4=324$를 계산한 다음, $324$와 $9$를 약분해주어야 한다.

만약 소인수분해를 활용한다면, 분자에 $3$이 $4$번, $2$가 $2$번 곱해져 있고 분모에 $3$이 $2$번 곱해져 있으므로 약분하면 분자에 $2^2\times3^2$가 남는다는 것을 바로 알 수 있다.

같은 방식으로 $Y$에서도, 소인수분해를 적극적으로 활용하면 계산량을 크게 줄일 수 있다.

• $Y$를 소인수분해를 이용하여 계산해보자.

복잡한 계산은 이름을 붙여 뒤로 미룬다

알파벳 (출처: javascript.plainenglish.io)

복잡한 계산을 할 때는 문자와 친해지는 습관을 가지자.

보통 수학에서 어떤 식에 이름을 붙이는 경우는 다음 세 가지이다:

1. 중요한 의미를 가지는 수식
2. 복잡해서 알아보기 힘든 수식
3. 길고 매번 적기 귀찮은 수식

좀 전에 첫 번째 문제를 풀 때에도 $X$와 $Y$라는 문자로 이름을 붙인 것을 확인할 수 있다. 이처럼 이름을 붙이는 습관을 들이면 해야 하는 작업을 분할해서 생각할 수 있고, 그 과정에서 실수를 줄일 수 있다.

두번째 문제를 살펴보자.

\[B=-\left(-\frac{1}{2}\right)^3-\left(\left(-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{3}{2}\times\left(\left(-\frac{1}{3}\right)^3-\left(-\frac{3}{2}\right)^2\right)\right)\]

어떤 것에 이름을 붙이면 좋을까? 사실 방법은 유일하지 않지만, 되도록이면 계산하기 어렵거나 귀찮아보이는 부분을 고르는 것을 추천한다.

우선 딱 봐도 통분하기 어려워보이는 수식이 괄호 안에 들어가 있는 것을 확인할 수 있다. 아래와 같이 복잡한 수식에 $Z$라는 이름을 붙여보자.

\[\begin{aligned} Z&=-\frac{3}{2}\left(\left(-\frac{1}{3}\right)^3-\left(-\frac{3}{2}\right)^2\right) \\&=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3^3}-\frac{3^2}{2^2}\right) \\&=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3^3}+\frac{3^2}{2^2}\right) \end{aligned}\]

이 부분을 당장 끝까지 계산하려고 할 필요는 없다. 통분도 나중으로 미루면 된다. 나중에 다시 한 번 말하겠지만, 복잡한 계산은 미룰수록 좋다.

$Z$라는 이름을 붙이고 나면, $B$는 간단하게 아래와 같이 표현할 수 있다.

\[B=-\left(-\frac{1}{2}\right)^3-\left(\left(-\frac{2}{3}\right)^2+Z\right)\]

이 상태에서 $B$를 조금만 더 정리한 다음에 다시 $Z$를 대입해보자.

\[\begin{aligned} B&=-\left(-\frac{1}{2}\right)^3-\left(-\frac{2}{3}\right)^2-Z\\&=\frac{1}{2^3}-\frac{2^2}{3^2}-Z\\&=\frac{1}{2^3}-\frac{2^2}{3^2}-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3^3}+\frac{3^2}{2^2}\right)\\&=\frac{1-3^3}{2^3}+\frac{-2^2-1/2}{3^2}\\&=-\frac{13}{2^2}-\frac{4.5}{3^2}\\&=-\frac{13}{2^2}-0.5\\&=-\frac{13+2}{4}\\&=-\frac{15}{4} \end{aligned}\]

소인수분해를 하지 않은 채로 먼저 통분했으면 아마 끔찍한 일이 벌어졌을지도 모른다. 하지만, 복잡한 통분 계산을 가장 마지막으로 미루니 결국에는 아주 쉬운 계산을 통해 해결되었다.

이처럼, 계산을 할 때도 하기 복잡한 계산과 복잡하지 않은 계산을 나눠서 구분하고, 약간의 귀차니즘(?)을 발휘하여 쉬운 계산을 먼저 해주는 것이 훨씬 효과적이다.

• 세번째 문제에서 어떤 수식에 이름을 붙이면 좋을지 생각해보고, 위에서 살펴본 방법으로 계산해보자.