증명 : 유리근 정리

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아래의 유리근 정리를 증명해보자.

증명을 하기에 앞서 알아야 할 것은, 약수와 배수 관계를 정수 범위로 확장하는 것이다. 하지만 이것은 매우 간단하다. 단순하게 부호를 고려하지 않고서 약수와 배수 관계를 따지면 충분하다.

예를 들어보자. 우리는 $3$이 $12$의 약수임을 안다. 그렇다면 $-3$은 $12$의 약수인가? 그렇다. 부호를 고려하지 않기 때문에 $-3$은 $12$의 약수이다. 다른 말로 하자면 $12$는 $-3$의 배수이다. 이렇게 말하는 이유는 $(-3)\times n=12$를 만족하는 정수 $n=-4$가 존재하기 때문이다. 비슷한 방식으로 $3$은 $-12$의 약수이기도 하다. 다른 말로 하자면 $-12$는 $3$의 배수이다. 또한 $0$은 모든 정수의 배수이고, 다른 말로 하자면 모든 정수는 $0$의 약수이다.

이 정도면 유리근 정리를 증명할 준비가 되었다고 생각한다.

유리근 정리의 증명

다항식 $f(x)$의 계수가 모두 정수이고, $f(a)=0$을 만족하는 유리수 $a$가 존재한다고 하자.

또한 다항식 $f(x)$가 $n$차식이라고 가정하자.

모든 유리수는 약분하여 기약분수의 형태로 나타낼 수 있다. 따라서 $a=p/q \;(p,q는\;서로소인\;정수)$라 두자.

그렇다면 $f(p/q)=0$이기 때문에, 양변에 $q^n$을 곱하면

$q^nf(p/q)=q^n(c_n(p/q)^n+c_{n-1}(p/q)^{n-1}+\cdots+c_0)\\=c_np^n+c_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+c_1pq^{n-1}+c_0q^n=0$

이때 $n\ge1$을 가정하고 $c_0q^n$만 남기고 나머지 항들을 우변으로 넘기면

$c_0q^n=-p(c_np^{n-1}+\cdots+c_1q^{n-1})$

여기서 $p\,|\,c_0q^n$임을 알 수 있는데, $p$와 $q$가 서로소이므로 $p\,|\,q^n$일 수는 없다.

따라서 $p\,|\,c_0$이다.

같은 방식으로 $q\,|\,c_n$이다.

만약에 $n=0$이어서 $f(x)=c_0$라면, $f(a)=0$인 유리수 $a$가 존재하기 위해서는 $c_0=0$일 수밖에 없다.

그러면 $c_n=c_0=0$이므로 $p\,|\,c_0$, $q\,|\,c_n$이다.