도전 과제 : 삼각함수

본 자료는 인공지능을 활용하지 않고 작성되었음을 알립니다.

• 참고: 삼각함수의 정의

  $\cos{t}=\\(\textrm{(1,0)에서 출발하여 반지름이 1인 원을 따라 1초에 1씩 움직이는 점의 t초 후 x좌표})$

  $\sin{t}=\\(\textrm{(1,0)에서 출발하여 반지름이 1인 원을 따라 1초에 1씩 움직이는 점의 t초 후 y좌표})$

  \[\begin{align*} \tan{t}=\frac{\sin{t}}{\cos{t}} \\ \sec{t}=\frac{1}{\cos{t}} \\ \csc{t}=\frac{1}{\sin{t}} \\ \cot{t}=\frac{\cos{t}}{\sin{t}} \end{align*}\]

https://www.youtube.com/watch?v=snHKEpCv0Hk&list=LL&index=14

동영상을 보고…

다음 질문들에 답해보자.

질문 1

위 그림과 같이 원점 $O=(0,0)$을 중심으로 반지름이 $1$인 원이 그려져 있다. 점 $P$는 원 위의 점이며, 선분 $OP$가 양의 $x$축과 이루는 각도를 $\theta$라 하자. $(단, 0<\theta<90^\circ)$

색칠된 선분의 길이는 $\sin{\theta}, \cos{\theta},\tan{\theta},\sec{\theta},\csc{\theta},\cot{\theta}$ 중 하나이다. 각 선분의 길이를 구해보자.

빨간색: $\sin{\theta}$

파란색: $\cos{\theta}$

보라색: $\sec{\theta}$

검은색: $\csc{\theta}$

초록색: $\tan{\theta}$

주황색: $\cot{\theta}$

질문 2

점 $P$가 제 1사분면, 제 2사분면, 제 3사분면, 제 4사분면에 있을 때, $\sin{\theta}, \cos{\theta},\tan{\theta},\sec{\theta},\csc{\theta},\cot{\theta}$의 부호를 각각 구하여라.

질문 3

제 1사분면 위의 점 $P=(\sin{\theta}, \cos{\theta})$에 대해, 다음을 보여라.

\[\begin{align*} \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\\ 1+\tan^2\theta=\sec^2{\theta} \end{align*}\]

만약 $P$가 제 1사분면 위의 점이 아니면, 위의 식은 성립하는가?

질문 4

첫번째 동영상에서, 2:05 지점을 시청해보자.

두 점 사이의 간격이 일정하다는 것을 어떻게 보일 수 있을까?

질문 5

첫번째 동영상에서, 2:25 지점을 시청해보자.

두 점의 중점이 원을 그린다는 사실은 어떻게 보일 수 있을까?

한 걸음 더

https://www.youtube.com/watch?v=kBu_nXqdeUs

반지름이 $1$인 큰 원의 내부에 반지름이 $\frac{1}{2}$인 작은 원이 중심 $(\frac{1}{2},0)$에서 출발하여 시계방향으로 미끄러짐 없이 구르는 상황을 생각하자. 이때, 작은 원 위의 점 $P$가 처음에 $(1,0)$에서 출발한다면, 점 $P$는 반드시 $x$축 위에서 운동함을 보이시오.