Day 1: Day 1 벡터란

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본 글은 영어로 최초 작성되었으며, Notion AI 기능을 활용하여 한국어로 번역되었음을 알립니다.

CH1 | Vectors

https://youtu.be/fNk_zzaMoSs

문제 1.1

(a) 아래의 용어를 사용하여 벡터가 무엇인지 3-4 문장으로 설명하시오.

벡터 덧셈 연산, 스칼라 배 연산, 화살표, 순서쌍.

(b) 영벡터가 무엇인지 설명하고, 영벡터 $\mathbf{0}$과 스칼라 $0$의 차이를 설명하시오.

Note. 벡터는 볼드체로 표기하거나 문자 위에 오른쪽 방향의 화살표를 그려 표기한다. ex) $\mathbf{v}, \vec{v}$

문제 1.2

만약 $n$ 이 양의 정수라면, $n$-순서쌍은 $n$개의 실수의 나열 $(v_1, v_2, …, v_n)$이다. 모든 $n$-순서쌍의 집합을 $n$-공간이라 부르며 $R^n$으로 표기한다.
- Contemporary Linear Algebra, Howard Anton & Robert C. Busby, p.7. (번역됨)

$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$는 $n$-공간의 원소이다. 즉,$\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$이다. $n$의 값은?

Note.

지금 단계에서는 벡터의 숫자들이 가로로 나열되든 세로로 나열되든 상관없다. 또한 괄호의 모양에 대해서도 신경쓰지 않기로 한다. 즉, 두 종류의 괄호 $[\cdot], (\cdot)$는 똑같다.
$R$(또는 $\mathbb{R}$) 은 실수 집합을 나타낸다. $N$(또는 $\mathbb{N}$), $Z$(또는 $\mathbb{Z}$), $C$(또는 $\mathbb{C}$)와 같은 다른 집합과 헷갈리지 말자.
$n$-공간을 책에서처럼 $R^n$으로 표기하거나 문제에서처럼 $\mathbb{R}^n$으로 표기할 수 있다. 두 표기 중 어느 쪽을 사용해도 무방하다.
$\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$을 맥락에 따라 “v in R n”, or “v is in R n”로 읽기로 약속한다.

문제 1.3

$2$-순서쌍(길이가 $2$인 순서쌍)을 이용하여 (a) 부터 (g)까지의 연산 규칙 각각에 대한 적절한 예시를 제시하시오.

$\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ 가 $R^n$의 벡터이고, $k$와 $l$이 스칼라일 때:
(a) $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$
(b) $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$
(c) $\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{u}=\mathbf{u}$
(d) $\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=0$
(e) $(k+l)\mathbf{u}=k\mathbf{u}+l\mathbf{u}$
(f) $k(\mathbf{u}+\mathbf{v})=k\mathbf{u}+k\mathbf{v}$
(g) $k(l\mathbf{u})=(kl)\mathbf{u}$
(h) $1\mathbf{u}=\mathbf{u}$
- Contemporary Linear Algebra, Howard Anton & Robert C. Busby, p.9. (번역됨)

Solution for (a).

(a) $(1, 0) + (2, 2) = (2, 2) + (1, 0) = (3, 3)$

문제 1.4

$\mathbf{x}= (x_1, x_2)\in \mathbb{R}^2$는 2차원 벡터이다. 아래의 방정식을 만족하는 벡터 $\mathbf{x}$의 집합을 빈칸을 채워 구하시오.

\[\begin{align*} & 3x_1+x_2=0 \\ & \textrm{Solution: }\{(t, \Box t) | t \in \mathbb{R} \} \end{align*}\]

문제 1.5

Contemporary Linear Algebra 책에서 인용한 아래의 연습 문제를 해결하시오.

Exercise 11.
$\mathbf{u}=(-3,1,2,4,4)$, $\;\mathbf{v}=(4,0,-8,1,2)$, $\mathbf{w}=(6,-1,-4,3,-5)$라 하자. 다음의 벡터를 가장 간단한 형태로 표현하시오.
(a) $\mathbf{v}-\mathbf{w}$
(b) $6\mathbf{u}+2\mathbf{v}$
(c) $(2\mathbf{v}-7\mathbf{w})-(8\mathbf{v}+\mathbf{u})$
- Contemporary Linear Algebra, Howard Anton & Robert C. Busby, p.13. (번역됨)

Exercise 13.
$\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$가 Exercise 11의 벡터라고 하자. 방정식 $2\mathbf{u}-\mathbf{v}+\mathbf{x}=7\mathbf{x}+\mathbf{w}$을 만족하는 벡터 $\mathbf{x}$ 를 가장 간단한 형태로 구하시오.
- Contemporary Linear Algebra, Howard Anton & Robert C. Busby, 같은 페이지. (번역됨)

Solution.

Exercise 11.
(a) $\mathbf{v}-\mathbf{w}=(-2,1,-4,-2,7)$
(b) $6\mathbf{u}+2\mathbf{v}=(-10,6,-4,26,28)$
(c) $(2\mathbf{v}-7\mathbf{w})-(8\mathbf{v}+\mathbf{u})=(-77,8,94,-25,23)$
- Contemporary Linear Algebra, Howard Anton & Robert C. Busby, p.A9.

Exercise 13.
$\mathbf{x}=(-\frac{8}{3},\frac{1}{2},\frac{8}{3}, \frac{2}{3}, \frac{11}{6})$
- Contemporary Linear Algebra, Howard Anton & Robert C. Busby, 같은 페이지.

문제 1.6

(a) 평행한 두 벡터와 (b) 수직인 두 벡터를 $\mathbb{R}^2$ 범위에서 아무거나 구하시오.