현의 진동과 에너지
이 글은 영국 옥스퍼드 대학교 물리학과 강사 Dr. Christopher W. P. Palmer의 부교재 “Energy in Waves on Strings”를 번역한 것임을 알립니다. https://users.physics.ox.ac.uk/~palmerc/Wavesfiles/Energy_Handout.pdf 또한, 본 글은 인공지능을 활용하지 않고 작성된 글임을 알립니다.
파동의 가장 특징적인 성질 중 하나는 에너지를 전달할 수 있다는 것이다. 이 부교재에서는 팽팽한 현에서의 에너지 전달 및 저장에 대해 분석할 것이다. 우선 현의 질량 선밀도가 $\rho$, 장력이 $T$일 것을 가정하면 파동의 속력은 $c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$로 구할 수 있다. 또한 현 위에서의 위치를 $x$좌표로 나타내고, 횡 방향으로의 변위를 $y$로 나타내면 아래의 파동 방정식을 만족한다.
\[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \tag{1}\]1. 운동 에너지 밀도
파동의 총 에너지는 현 위의 각각의 점에 대해 대응하는 에너지 선밀도 $u$로 분포되어 있다. 따라서 총 에너지 $E$는
\[E= \int{u(x,t)}\textrm{d}x \tag{2}\]와 같이 나타낼 수 있다. 위 식에서의 적분은 현 전체에 대한 적분을 의미한다.
에너지 밀도는 두 가지의 요소 - 운동 에너지 밀도와 퍼텐셜 에너지 밀도로 구성된다. 운동 에너지 밀도는 단위 길이 당 운동 에너지이며, 횡 방향 운동만을 고려하여 구할 수 있다. 길이가 $\delta x$인 현의 한 조각은 질량 $\rho\delta x$와 횡 방향 속도 $\partial y / \partial t$를 가지고, 따라서 운동 에너지
\[\frac{1}{2}\, \rho \delta x\!\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2\]를 가진다. 따라서 운동 에너지 밀도 $u_K$는 아래와 같다.
\[\frac{1}{2} \,\rho\!\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 \tag{3}\]2. 퍼텐셜 에너지 밀도
간단한 접근.
현의 횡 방향 운동이 장력에 주는 영향을 무시할 수 있다고 가정하면 현의 변형에는 일정한 장력에 대한 일이 필요할 것이다. 그렇다면 길이가 $\delta x$인 현의 한 조각에 저장된 에너지는 이 일정한 장력에 조각이 늘어난 길이를 곱한 것이다. 따라서 파동이 지나갈 때 이 조각의 길이가 $\delta l$이 된다고 하면 저장된 에너지는
\[u_P \delta x = T(\delta l - \delta x) \tag{4}\]이다. 파동이 없을 때는 조각의 양 끝이 $(x, 0)$과 $(x+\delta x, 0)$에 놓여 있고, 파동에 의해 각각 $(x, y)$와 $(x+\delta x, y+\delta y)$로 옮겨진다고 하자. 그러면 조각의 변형된 길이는 아래와 같다.
\[\delta l = \sqrt{\delta x^2 + \delta y^2} = \delta x \sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\]파동을 다루는 전체 과정에서 기본이 되는 가정은 $\partial y / \partial x \ll 1$인 것이므로, 이항 전개에서 처음 두 항만을 남겨 위 식을
\[\delta l = \delta x \left(1+\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\right)\]와 같이 근사할 수 있다. 이를 식 $(4)$에 대입하면 아래의 퍼텐셜 에너지 밀도를 얻는다.
\[u_P(x)=\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 \tag{5}\]앞서 언급한 두 요소를 조합하면 에너지 밀도는 아래와 같다:
\[u(x)=\frac{1}{2} \left(\rho \left(\frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 + T \left(\frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 \right) \tag{A}\;\;\;\;\textrm{(Energy Density)}\]더 자세한 접근.
$u_P$를 계산하기 위해 앞서 제시한 간단한 접근은 $T$가 상수라는 가정이 어떤 조건에서 타당한지 모르고, 특히 어떤 길이의 변화도 $T$에 조금은 영향을 주기 때문에 다소 부적절한 접근이라고 할 수 있다. 이 상황을 더 자세하게 설명하려면 한 발짝 뒤로 물러서서 늘어난 현의 탄성을 더 일반적으로 고려해야 한다.
앞서 언급한 현의 한 조각의 길이가 $\delta x_0$라고 하자. 만약 이 조각이 임의의 길이 $\delta l$로 늘어난다고 하면, 장력 $T(\delta l)$과 저장된 에너지 $\delta U_P(\delta l)$는 아래의 당연한 공식으로 주어진다.
(번역 주: 아래 공식이 당연한지는 독자가 알아서 판단하기를 바람)
\[T(\delta l) = \lambda \frac{\delta l - \delta x_0}{\delta x_0} \;\;\;\textrm{and} \;\;\;\delta U_P(\delta l)= \frac{\lambda}{2\delta x_0}(\delta l - \delta x_0)^2\]여기서 $\lambda$는 현의 영률(원문: elastic constant)이다. 서로 다른 늘어난 상태 사이의 $\delta U_P$의 변화를 합차 공식을 이용하여 구하면
\[\delta U_P(\delta l_2)-\delta U_P(\delta l_1) = \frac{\lambda}{2\delta x_0} (\delta l_2 + \delta l_1 - 2 \delta x_0)(\delta l_2 - \delta l_1)\]이고, 장력에 대한 공식을 위 식에 대입하면, 다시 아래와 같이 나타낼 수 있다.
\[\delta U_P(\delta l_2)-\delta U_P(\delta l_1) = \frac{T(\delta l_2 ) + T(\delta l_1)}{2}(\delta l_2 - \delta l_1)\]구체적으로, 파동에 의해 추가적으로 생긴 탄성 퍼텐셜 에너지는 $\delta x$에서 $\delta l$로 늘리면서 생긴 차이이다.
\[u_P \delta x = \frac{T(\delta l)+T(\delta x)}{2} (\delta l - \delta x)\]한편 간단한 접근에서 얻은 결과는 식 (4)로, 이 표기로는 아래와 같다.
\[u_P \delta x = T(\delta x) (\delta l - \delta x)\]따라서 새로운 결과를 다시 써서 간단한 접근을 수정하면
\[\begin{align} u_P \delta x &= T(\delta x)(\delta l - \delta x)+\frac{T(\delta l) - T(\delta x)}{2}(\delta l - \delta x) \newline &= T(\delta x)\! \left((\delta l - \delta x)+\frac{1}{2}\frac{(\delta l - \delta x)^2}{(\delta x - \delta x_0)} \right) \end{align} \tag{6}\]간단한 접근이 위 식에서 더 개선되었으나, 추가적인 길이 변화에 의한 효과는 기존 식보다 차수가 더 높고, 따라서 차수가 가장 낮은 항만 고려하면 식 (5)에서 구한 결과도 충분히 타당하다는 것을 확인할 수 있다.
단방향 파동에 대한 단순화.
파동 $y(x, t)$가 단순히 앞으로 진행하는 파동 $y=f(x-ct)$으로 구성되는 영역에서는 중요한 단순화가 일어난다. 이 영역에서의 파동은 아래와 같은 단방향 파동 방정식을 만족하게 된다.
\[\frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{1}{c} \frac{\partial y}{\partial t}\]이 경우에
\[u_P = \frac{1}{2}T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 = \frac{1}{2}T\left(-\frac{1}{c}\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{T}{c^2} \left(\frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 = u_K \tag{7}\]임을 보일 수 있다. 따라서 앞으로 진행하는 파동의 에너지 밀도는 $u_P$와 $u_K$에 동등하게 분할되며, 총 에너지는 아래 식으로 구할 수 있다.
\[u^+ = T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 = \rho\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2\]비슷한 방식으로 $y=f(x+ct)$를 만족하는 영역에서는 뒤로 진행하는 파동의 방정식을 만족하며,
\[\frac{\partial y}{\partial x} = + \frac{1}{c} \frac{\partial y}{\partial t}\]다시 한 번 $u_P = u_K$라는 결과와 총 에너지 밀도의 식을 얻는다.
\[u^- = T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 = \rho\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2\]위에서 살펴 본 두 경우에 대해서 에너지 밀도에 대한 공식이 $u^+=u^-$로 같게 나왔지만, 이것은 앞으로 진행하는 파동과 뒤로 진행하는 파동이 동시에 존재할 경우에는 사실이 아니다.
3. 에너지 선속
처음에 언급했다시피, 파동의 특징적인 성질 중 하나는 에너지를 전달할 수 있는 것이다. 이것은 에너지 밀도의 존재만으로는 설명할 수 없으며, 에너지의 전달률인 선속 $\mathcal{F}$를 구해야 설명할 수 있다.
여러 파동이 현을 따라 진행하고 있다고 하자. 목표는 점 $x$에서 $x$가 증가하는 방향으로 전달되는 에너지의 전달률인 $\mathcal{F}(x)$를 계산하는 것이다. 즉, 시간 당 $\mathcal{F}$만큼 음의 방향으로 놓인 현(음의 반현)은 에너지를 잃고, 양의 방향으로 놓인 현(양의 반현)은 에너지를 얻고 있는 것이다. 이것이 일어나는 이유는 음의 반현이 양의 반현에 $\mathcal{F}$의 일률로 일을 하기 때문이다. 이 점에서 현이 평형 상태의 방향을 기준으로 각도 $\theta$를 이루고 있다면, 현의 기울기는 $\tan \theta = \partial y /\partial x$이다. 따라서 음의 반현이 양의 반현에 작용하는 힘은
\[\textbf{F}= \begin{pmatrix} -T\cos \theta \newline -T \sin \theta \end{pmatrix}\]이고, 일률은 힘과 힘의 작용점이 움직이는 속도
\[\textbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \newline \frac{\partial y}{\partial t} \end{pmatrix}\]의 내적이므로, $\mathcal{F}= \textbf{F}\cdot\textbf{v} = -T\sin\theta \frac{\partial y}{\partial t}$이다. 작은 각에 대한 근사 $\sin\theta \approx \tan\theta$, $\cos \theta \approx 1$을 사용하면 드디어 에너지 선속을 구하는 공식을 얻는다.
\[\mathcal{F}=-T\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}\;\;\;\;\textrm{(Energy Flux Definition)} \tag{B}\]에너지 밀도 $u$의 경우에서와 같이 앞으로 진행하거나 뒤로 진행하는 파동만이 존재할 때 위의 식을 단순화할 수 있다. 앞으로 진행하는 파동만이 존재한다면 다음의 단방향 파동 방정식이 성립한다.
\[\frac{\partial y}{\partial t} = -c \frac{\partial y}{\partial x}\]이를 $\mathcal{F}$의 식에 대입하면
\[\mathcal{F}^+ = cT\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 = cu^+\]를 얻는다. 비슷하게, 뒤로 진행하는 파동만이 존재할 경우
\[\frac{\partial y}{\partial t}=c\frac{\partial y}{\partial x}\]를 대입할 수 있고, 곧
\[\mathcal{F}^- = -cT\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 = -cu^-\]를 얻는다. 따라서 파동이 한 방향으로 진행하고 있는 영역이라면, 앞으로 진행하는 경우의 에너지 선속은 에너지 밀도 곱하기 파동의 진행 속력 $+c$이고, 반대로 진행하는 경우에는 $-c$를 곱해서 얻을 수 있다. 이 결과는 에너지가 위치에 의해 결정되는 특정 에너지 밀도 $u^{\pm}$의 형태로 파형 안에 잠재되어 있고 이것이 파동의 진행 속력으로 전달됨을 암시한다. 이것에 대한 추가적인 개념은 마지막 절에서 학습할 것이다.
4. 에너지의 보존
범우주적 에너지 보존의 관점에서 바라보면, 그리고 지금껏 세운 수식으로부터 파동 에너지가 현을 떠나 주변 환경으로 이동할 방법이 전혀 없다는 것을 고려한다면 전체 파동 에너지 $E$가 보존되기를 기대할 수 있다. 사실은 그것보다 더 많은 것을 기대한다. 앞서 살펴보았듯이 $E$는 실을 따라 분포해 있는 각각의 에너지 요소 $u$가 기여한 결과이고, 우리는 이미 위치에 따른 에너지 전달률의 표현식을 알고 있다. 따라서 우리는 에너지가 국소적으로 보존(원문: locally conserved)될 것임을 기대할 수 있다. 이것은 조각의 양 끝에서의 0이 아닌 에너지 선속에 의해, 임의의 현 조각이 지닌 에너지가 오직 인접한 현 조각으로 흐르면서 변화함을 의미한다. 이 가정은 u와 $\mathcal{F}$를 연결짓는 미분방정식을 유도할 수 있게 도와준다.
x=a에서 x=b까지 늘어져 있는 현의 한 조각을 생각하자. 이 조각이 지니고 있는 에너지는
\[E_{a \rightarrow b} = \int_{a}^{b}{u(x, t)}\textrm{d}x\]이다. 앞서 가정한 국소 에너지 보존은 위에서 구한 에너지가 오직 한 쪽 끝에서 들어오는 에너지 선속 $\mathcal{F}(a)$와 다른 쪽 끝에서 나가는 에너지 선속 $\mathcal{F}(b)$에 의해서만 변한다는 것을 의미한다.
\[\frac{\textrm{d}E_{a \rightarrow b}}{\textrm{d}t} = \mathcal{F}(a)-\mathcal{F}(b) \tag{8}\]이것은 현의 어느 조각에 대해서도 성립하나, 두 개의 짧은 조각으로부터 하나의 긴 조각을 구성하는 경우를 생각해볼 수도 있다. 이 경우 각각의 짧은 조각에 대한 두 등식을 더하면 경계에서의 효과는 서로 상쇄되고 두 에너지의 합의 시간에 대한 변화율은 여전히 긴 조각의 양 끝에서의 에너지 선속 차이로 결정된다는 것을 확인할 수 있다. 따라서 중심이 $x$에 위치한 길이가 $\delta x$인, $x-\delta x/2$와 $x+\delta x/2$ 사이에 위치한 매우 짧은 조각을 생각할 수 있다. 충분히 짧은 조각이라면 이 구간 안에서 $u$의 변화는 무시할 수 있고, 따라서 조각이 지닌 에너지는 그저 $u \delta x$이다. 수식 $(8)$을 적용하면 다음을 얻는다.
\[\frac{\partial u}{\partial t}\delta x = \mathcal{F}(x-\delta x/2)-\mathcal{F}(x+\delta x/2) \tag{9}\]테일러 전개에서 일차 항까지 취하면
\[\mathcal{F}(x+\delta x/2) = \mathcal{F}(x)+(\delta x/2) \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial x}\]이고, $\mathcal{F}(x-\delta x/2)$에 대해서도 비슷하게 구할 수 있다. 수식 (9)에 이를 대입하면 아래를 얻는다.
\[\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial x}\;\;\;\;\textrm{(Equation of Continuity)} \tag{C}\]이것은 연속 방정식으로 널리 알려진, 방정식의 한 특수한 경우이지만, 지금은 이 이름이 실제 내용과 그다지 관련이 없는 쓸모없는 이름으로 보일 것이다. 이 방정식은 무엇인가의 국소 보존을 의미하는데, 이 경우에는 그 ‘무엇인가’가 에너지이다.