개념 익히기 : 조립제법의 원리

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들어가며

조립제법은 상당히 재미있는 개념이다. 계수만 놓고서 다항식의 나눗셈 연산을 수행할 수 있다는 것이 얼마나 흥미로운가?

하지만 실제로는 조립제법의 개념을 제대로 이해하지 못해 그냥 외워서 사용하거나, 아니면 공식처럼 외우려고 하다가 막히는 경우가 종종 있다.

이번에는 조립제법의 원리에 대해서 제대로 알아보고, 조립제법이 유용한 이유에 대해서 설명해보자.

다항식의 나눗셈 과정과 조립제법의 비교

우선 다음 다항식의 나눗셈 과정을 살펴보자.

처음으로 나오는 항은 $2x^2$이다. 이 항이 어떻게 나왔을까? 나누는 식이 일차식이고, $x$의 계수가 $1$이라는 것을 먼저 확인하자. 그렇다면 당연히 원래 다항식의 최고차항의 계수가 몫의 최고차항의 계수가 될 수밖에 없을 것이다. 그렇기 때문에, 조립제법에서 처음에 하는 일은 최고차항의 계수를 그대로 내려 쓰는 것이다.

이후 과정을 살펴보자. 원래대로면 상수항인 $-3$이 $2x^2$과 곱해지면서 $-6x^2$이 된 후, 이것이 $-3x^2$에서 빼지면서 $3x^2$이 된다. 조립제법에서는, 부호가 두 번 바뀐다. 먼저 $2x^2$에서의 계수 $2$에 $-3$이 대신 $3$이 곱해져서 $6$이 된 다음, 이것이 $-3$에서 빼지는 것이 아니라 더해진다. 부호가 두 번 바뀌었으니 당연히 원래와 같은 결과가 나올 수밖에. 따라서 정상적으로 계수 $3$이 구해지는 것을 확인할 수 있다.

계속 이어나가면 아래와 같이 계수가 구해진다. 부호가 두 번 바뀌는 것에 유념하기만 하면 계수가 제대로 구해지고 있다는 것을 단계별로 전부 확인할 수 있다. 예를 들어, 몫의 상수항 $13$이 구해지는 과정은 ① 단순 나눗셈에서는 $4$에서 $-9$가 빼지면서 구해졌지만, ② 조립제법에서는 $4$에서 $9$가 더해지면서 구해졌다.

만약 나누는 식에서 $x$의 계수가 $1$이 아니라면

위의 결과로부터 조립제법은 다항식을 일차식으로 나눌 때에만 적용될 수 있음을 알 수 있다. 또한, 나누는 일차식 역시도 $x$의 계수가 $1$이어야만 한다. 그렇기 때문에 $2x+1$과 같이 $x$의 계수가 $1$이 아닌 경우에는 $x+\frac{1}{2}$로 나눠준 다음, 몫을 $2$로 나눠주어야 한다.

좀 더 자세히 설명하자면, $n$차 다항식 $f(x)$에 대해 이를 $(x+\frac{1}{2})$로 나눈 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R$이라 두면

$f(x)=(x+\frac{1}{2})Q(x)+R$이고, $(x+\frac{1}{2})$에 $2$를 곱하고 $Q(x)$를 $2$로 나눠서 변형하면

$f(x)=(2x+1)(\frac{1}{2}Q(x))+R$이 된다.

이처럼 나누는 식에서 $x$의 계수가 $1$이 아니더라도 조립제법을 통해 나눗셈을 편리하게 할 수 있다.