도전 과제 : 1초의 길이, 1미터의 시간

본 자료는 인공지능을 활용하지 않고 작성되었음을 알립니다.

A Second of Length, a Meter of Time

학습 목표

• 단위 환산(unit conversion)을 하는 이유를 설명할 수 있다 😀
• 천문학자들이 자주 사용하는 단위 환산을 직접 할 수 있다 🤔
• 아인슈타인의 상대성 이론(Einstein’s Theory of Relativity)에서 자주 사용하는 단위계(unit system)에 대해 설명할 수 있다 😮

수를 세기 시작한 사람들

기원전 4000년 전 수메리아 인들이 처음으로 숫자를 사용했던 것으로 알려져 있다. 숫자에 대한 기록이 남아 있었던 것이 그 정도로 오래되었다면, 실제로 인간이 숫자를 세기 시작한 지는 더 오래 되었을지도 모른다.

오스트레일리아의 왈피리족 (출처: austrade.gov.au)

인간이 수를 다뤄온 지는 수천 년이 지났다. 그럼에도, 사람은 누구나 수에 약하다.

오스트레일리아의 왈피리(Warlpiri)족은 지금까지 수렵 생활을 유지하고 있는 원주민들인데, 그들이 사용하는 언어에서 등장하는 숫자는 하나, 둘, 많다 - 이 세 개가 전부다. 특별한 훈련 없이 본능적으로 셀 수 있는 숫자의 개수는 생각보다 얼마 되지 않는다는 것이다. 그나마 초등학교와 중학교를 다니면서 좀 더 큰 수를 다룰 수 있게 된다고 해도, 1000을 넘어가는 수를 자유자재로 상상하고 시각화하기는 어렵다.

말도 안 되는 수들

안타깝게도, 세상은 넓고 우주는 크다.

우리 은하 (The Milky Way) (출처: exoplanets.nasa.gov)

2016년 10월 사이언스(Science) 지에 실린 글에 따르면, 관측 가능한 우주에는 약 $2,000,000,000,000$개의 은하가 있고, 일반적인 은하는 약 $100,000,000$개의 별들을 가지고 있다고 이야기한다.

에이, 그래도 이 정도면 부자들의 통장 잔고에 찍힌 금액 정도 아니겠나.

그렇지만 별의 질량은 정말로 어마무시하다. 태양은 우주에서 흔하디 흔한 크기의 별이지만 그 질량은 무려

\[2,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 \;\textrm{kg}\]

에 달한다. 아직 끝이 아니다. 태양은 대부분 수소로 이루어져 있는데, 수소를 $1 \;\textrm{kg}$ 만큼 모으면 그 안에 들어 있는 수소 원자의 개수는 또 몇 개일까?

\[600,000,000,000,000,000,000,000,000 \; 개\]

$600,000,000,000,000,000,000,000,000$ 개가 몇 개인지 상상은 가나? 그렇다면 우주에 있는 수소 원자의 개수는?

단위의 사용

좀 전처럼 말도 안 되게 큰 숫자를 상상하는 것은 너무 고통스러운 일이다. 아니, 아무리 똑똑한 인간이라도 상상할 수 없다. 천문학에서는 우주 전체의 크기부터 가장 작은 미립자의 크기까지를 전부 생각해야 한다. 0을 하나 붙일 때마다 10배씩 커지는 폭발적인 크기를 인간의 뇌로는 도저히 감당할 수 없다. 따라서 큰 숫자를 나타내기 위해 단위는 천문학자들에게 꼭 필요하다.

우주를 관찰하는 천문학자 (출처: onetravel.com)

천문학자들이 사용하는 단위 변환

빛은 1 초에 무려 $300,000,000 \;\textrm{m}$를 간다. 지구 둘레의 일곱 바퀴 반에 해당하는, 실로 엄청난 거리다. 그럼 1 분에는 얼마나 갈까. 한 시간에는? 하루에는? 일 년에는 또 얼마나 갈지 상상할 수 있을까?

빛이 1년 동안 가는 이 천문학적인 거리를 천문학자들은 1 광년(1 light-year, $1\;\textrm {ly}$)이라고 부른다. 미항공우주국(NASA)에 따르면, 지금까지 관측된 단독 별들 중 가장 멀리 떨어져 있는 별은 이카루스(Icarus)이다.

이카루스 (Icarus) (출처: smithsonianmag.com)

이카루스에서 출발한 빛은 $9,000,000,000$ 년 뒤 지구에 닿는다. 즉, 이카루스는 $90$억 광년 떨어져 있다. 이카루스가 지구로부터 떨어진 거리를 우리가 자주 사용하는 단위인 미터(meter)로 나타내보자.

\[D_{E-I}= 9,000,000,000 \; \textrm{ly} \tag{1}\]

빛이 1초 동안 가는 거리를 $1 \;\textrm{ls}$, 1분 동안 가는 거리를 $1 \;\textrm{lm}$, 한 시간 동안 가는 거리를 $1 \;\textrm{lh}$, 하루 동안 가는 거리를 $1 \;\textrm{ld}$라고 하자. 이때, $1 \;\textrm{ls}=300,000,000\;\textrm m$이다. 빛의 속력은 일정하기 때문에, 시간이 길수록 빛이 가는 거리는 비례해서 길어진다. 예를 들어, 빛이 1초 동안 가는 거리가 $300,000,000 \; \textrm{m}$라면, 빛이 2초 동안 가는 거리는 $2 \times 300,000,000 \; \textrm{m} = 600,000,000 \; \textrm{m}$이다. 따라서 아래의 등식을 생각할 수 있다.

\[1\;\textrm{ls}=300,000,000\;\textrm{m}\newline 1\;\textrm{lm}=60\;\textrm{ls}\newline 1\;\textrm{lh}=60\;\textrm{lm}\newline 1\;\textrm{ld}=24\;\textrm{lh}\newline 1\;\textrm{ly}=365\;\textrm{ls} \tag{2}\]

$3a=b$이고 $a \neq 0,\;b\neq0$이라고 하자. 두 수가 서로 같다는 것은 서로 나누었을 때 $1$이 된다는 것이다. 즉,

\[\frac{3a}{b}=1\]

같은 방식으로, 단위를 하나의 문자처럼 생각하고 식 $(2)$를 다시 쓰면 아래와 같다.

\[\frac{300,000,000\;\textrm{m}}{1\;\textrm{ls}}=1\newline \frac{60\;\textrm{ls}}{1\;\textrm{lm}}=1\newline \frac{60\;\textrm{lm}}{1\;\textrm{lh}}=1\newline \frac{24\;\textrm{lh}}{1\;\textrm{ld}}=1\newline \frac{365\;\textrm{ld}}{1\;\textrm{ly}}=1 \tag{3}\]

이들을 서로 나눠 $1$로 만든 이유는, “어떤 수에 $1$을 아무리 곱해봤자, 그 수가 변하지 않는다”는 $1$의 매우 특별한 성질을 이용하고 싶어서이다. 아래는 이러한 $1$의 성질을 이용하여 식 $(1)$을 다시 쓴 것이다.

\[D_{E-I}= 9,000,000,000 \; \textrm{ly} \;\times1\times1\times1\times1\times1\]

지구와 이카루스 사이의 거리에 $1$을 곱한다고 해서 달라질 것은 전혀 없다. 이제 식 $(3)$의 결과를 대입해보자.

\[D_{E-I}= 9,000,000,000 \; \textrm{ly} \;\times\frac{365\;\textrm{ld}}{1\;\textrm{ly}}\times\frac{24\;\textrm{lh}}{1\;\textrm{ld}}\times\frac{60\;\textrm{lm}}{1\;\textrm{lh}}\times\frac{60\;\textrm{ls}}{1\;\textrm{lm}}\times\frac{300,000,000\;\textrm{m}}{1\;\textrm{ls}}\]

단위들을 모두 약분(cancel-out)하고 나면, 최종 단위는 $\textrm{m}$이다.

\[\begin{aligned} D_{E-I} &= 9,000,000,000 \times365\times24\times60\times60\times300,000,000\;\textrm{m} \newline &\approx 85,000,000,000,000,000,000,000,000 \;\textrm{m} \end{aligned}\]

숫자가 클 때, 괜히 ‘천문학적’이라는 표현을 쓰는 것이 아니라는 것을 알 수 있다.

\[85,000,000,000,000,000,000,000,000 \;\textrm{m}\approx \textrm{9 billion light years} \tag{4}\]

‘광년’이라는 단위를 사용함으로써, 별들 사이의 거리를 상대적으로 비교하는 것이 가능해진다. 만약 $D_{E-A}=292134827212342892 \;\textrm{m}$ 떨어진 별 $A$와 $D_{E-B}=46383292837122231\;\textrm{m}$ 떨어진 별 $B$가 있을 때, 이 둘 사이의 거리를 비교하라고 하면 당황스럽게 느껴질 것이다. 하지만, 단위 변환을 통해 $D_{E-A}=30.8 \;\textrm{ly}$, $D_{E-B}=4.9 \;\textrm{ly}$와 같이 변환한다면 두 별과의 거리를 눈에 쉽게 들어오게끔 표기하여 빠르게 비교할 수 있다.

시공간

시공간(spacetime)이라는 개념에 대해 들어봤는가? 이 말은 단순히 시간과 공간을 함께 부르기 위해 생겨난 것처럼 보이지만, 사실 그것보다 더 깊은 의미를 가지고 있다.

특수 상대성 이론에 의한 길이 수축 (출처: alternativephysics.org)

상대성 이론은 우주선에 탑승한 관찰자가 주변에 대해 빛의 속력에 가깝게 움직이는 상황에서 일어나는 공간의 왜곡을 설명하는 학문이다. 빛의 속력에 가까워질수록, 관찰자는 더 심하게 왜곡된 공간을 경험하게 된다. 위 그림에서 야구공이 찌그러지듯이, 관찰자 본 주변의 공간도 길이 수축을 경험하게 된다.

하지만, 재밌는 것은 공간만이 뒤틀리는 것이 아니라는 것이다. 우주선 내부의 시간은 외부와는 서로 다르게 진행하며, 상대성 이론의 효과 때문에 우주의 중심이 되는 절대적인 좌표계로 우주의 현상을 설명하는 것은 불가능해진다.

상대성 이론의 수학적 언어

미분 기하학 (Differential Geometry) (출처: wikipedia.org)

상대성 이론을 표현하는 수학적 언어는 미분 기하학(Differential Geometry)이다. 상대성 이론에서는 공간의 왜곡을 넘어 시공간의 왜곡을 다루어야 하기 때문에, 우리가 인지하는 3차원 공간에 시간 축을 더하여 4차원 공간에서 해석한다.

1초의 길이, 1 미터의 시간

하지만 문제가 있다. 공간을 나타내기 위한 축 3개에서는 모두 길이 단위를 사용하지만, 시간을 나타내는 축은 시간 단위를 사용해야 한다. 즉, 순서쌍으로 $(x, y, z, t)$를 나타내야 하는데, $x,y,z$의 단위는 $\textrm{m}$를 사용하지만, $t$의 단위만 $\textrm{s}$를 사용해야 하는 것이다. 그러나 시간 축만 특별 대우를 해주는 것은 까다롭다. 또한 단위의 통일이 되지 않으면 미분과 같은 연산을 적용할 때도 걸림돌이 된다.

그래서 물리학자들은 시공간을 나타내기 위해, 빛의 속력 $c$를 단위가 없는 1로 정의했다. 즉, 아래와 같이 생각할 수 있다.

\[c=300,000,000 \;\textrm{m/s}=\frac{300,000,000 \;\textrm{m}}{1 \;\textrm{s}}=\frac{1 \;\textrm{m}}{\frac{1}{300,000,000} \;\textrm{s}}=1\]

새로운 정의를 적용하면, $300,000,000 \;\textrm{m}$는 $1 \;\textrm{s}$, $1 \;\textrm{m}=\frac{1}{300,000,000} \;\textrm{s}$ 이다.

이것이 정확히 무슨 의미일까?

1 초의 길이는 빛이 1 초 동안 간 거리를 의미한다. 1 미터의 시간은 빛이 1 미터를 가는데 걸리는 시간을 의미한다.

이렇게 하면 모든 길이와 시간 단위를 통일해서 나타낼 수 있다. 심지어, 상대성 이론에서 자주 사용되는 수식의 대부분은 $c=1$을 대입하면 대칭적인 식으로 변하거나 훨씬 간단한 식으로 바뀐다.

\[\textrm{새로운 공간 좌표:}\;\;\; x'=\gamma(x-vt) \;\rightarrow\; x'=\gamma(x-vt) \newline \textrm{새로운 시간 좌표:}\;\;\; t'=\gamma\left(t-\frac{v}{c^2}x \right) \;\rightarrow\; t'=\gamma(t-vx) \newline \textrm{물체의 에너지:}\;\;\; E^2 =(mc^2)^2+p^2c^2 \;\rightarrow\; E^2=m^2+p^2 \newline \textrm{블랙홀의 반지름:}\;\;\;R_S=\frac{2GM}{c^2} \;\rightarrow\; R_S=2M\]

단위의 설정이 중요한 이유

단위와 수의 관계 (출처: gettyimagesbank.com)

단위의 설정은 여러 면에서 중요하다.

우선 앞서 살펴 보았듯이, 단위를 사용함으로써 매우 크거나 매우 작은 숫자를 쉽게 비교할 수 있다. 예를 들어 길이를 나타낸다고 했을 때, 큰 단위를 사용할수록 길이를 나타내는 수는 작아지고, 작은 단위를 사용할수록 길이를 나타내는 수는 커진다. 마치 위 그림에서 하늘색이 커지면 파란색이 줄어들고, 파란색이 커지면 하늘색이 줄어드는 것과 비슷하다.

또한 상대성 이론에서와 같이, 적합한 단위를 설정하면 수학적으로 해석하기가 용이해지는 경우도 있다.

따라서, 앞으로 문제를 풀거나 탐구 활동을 할 때 좋은 단위를 사용해서 주어진 상황이 쉽게 해결되도록 노력해보자.