도전 과제 : COVID-19과 등비수열

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COVID-19 and the Geometric Sequence

코로나바이러스감염증(COVID-19)은 2019년에 처음 발생하여 2020년과 2021년에 걸쳐 전세계적으로 유행한 전염성 질병이다. 코로나바이러스는 다른 질병들과 달리 어떻게 그토록 빠르게 확산된걸까? 중고등학교에서 배우는 수열의 개념을 이용하여 설명해보자.

수열이란?

등차 수열과 등비 수열 (출처: [owlcation.com](https://owlcation.com/))

등차 수열과 등비 수열 (출처: owlcation.com)

수열(sequence)은 말 그대로 수의 나열이다. 즉, 자연수 하나($n$)마다 실수 하나($a_n$)가 대응이 되는 것이다. 일반적으로, 수열을 ‘일정한 규칙을 가지는 수의 나열’이라고 정의하는데, 여기서 말하는 ‘규칙’은 일반적으로 수식으로 표현할 수 있다.

가장 간단하다고 알려져 있는 수열은 항(term)이 일정한 간격으로 늘어나거나 줄어드는 등차 수열(arithmetic sequence)이다. 만약 초항(initial term)이 $a_0$이고, 인접한 두 항의 차이 공차(common difference)가

\[a_{n+1}-a_n=d\;\;\textrm{for all}\;n\in \mathbb{N_0}\]

이면

\[a_n=a_0+dn \tag{1}\]

와 같이 나타낼 수 있다. (단, 자연수 집합 $\mathbb{N_0}$는 $0$을 포함한다)

위와 비슷한 방식으로, 항이 일정한 비율로 늘어나거나 줄어드는 등비 수열(geometric sequence)을 생각할 수 있다. 만약 첫째 항이 $a_0$이고, 인접한 두 항의 비율 공비(common ratio)가

\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=r\;\textrm{for all}\;n\in\mathbb{N_0}\]

이면

\[a_n=a_0 r^n \tag{2}\]

와 같이 나타낼 수 있다.

그래서 이게 COVID-19이랑 무슨 관련이 있는거죠?

전염병 발생 초기 단계에서 중국 본토를 제외한 지역의 COVID-19 확진자 수 (출처: 3blue1brown / 데이터: Worldometer)

감염병의 진행 상황에 대응하기 위해서는 마치 일기 예보와 같이 앞으로의 질병 전파에 대한 예측이 반드시 필요하다. 이를 기반으로 사회적 거리 두기 단계를 조정하고, 영업 시간을 조정하고, 국민들의 협조를 요청할 수 있다. 아래 예시 문제를 풀어보면서 감염병 초기의 진행 상황을 예측해보자.

감염병 예측 문제

하울나라에는 매우 많은 사람이 살고 있는데, 어느 날 원인을 알 수 없는 돌연변이로 전염병 X가 사람들 사이에서 퍼지기 시작했다. 감염자 한 명은 매일 $10$명의 비감염자를 만나고, 만나는 사람 $5$명 중 $1$명은 전염병에 감염된다. 처음, 즉 $0$번째 날에 감염자 수가 $X_0=5$이고, 그로부터 $n$일 후의 감염자 수가 $X_n$이라고 하면 어떻게 $X_n$을 예측할 수 있을까? 단, 감염자 수는 매일 아침 사람들이 활동하기 전에 센다고 하자.

Answer

감염자 한 명은 매일 무작위로 $10$명의 사람들을 만나 그들 중 $1/5$인 $2$명을 감염시킨다. $n$번째 날에는 $X_n$명의 감염자가 있으므로, 그 다음 날인 $n+1$번째 날에 새로 감염되는 사람은 $2X_n$명이다. 따라서 $n+1$번째 날의 총 감염자 수는

\[X_{n+1}=3X_n \tag{3}\]

명이다. 즉, 매 아침마다 감염자 수가 $3$배가 되므로, $n$번째 날 감염자 수는

\[X_n=X_0r^n=5\cdot3^n \tag{4}\]

이다. 일반적으로, 감염자 한 명이 만나는 비감염자의 수가 평균적으로 $k$명이고 감염자가 비감염자를 만날 때마다 $p$의 확률로 감염시킨다고 가정하면 $n$번째 날에 감염된 사람의 수는 $\Delta X_n=X_{n+1}-X_n=pkX_n$이고, 따라서 

\[X_{n+1}=(1+pk)X_n \tag{5}\]

이 된다. 이는 공비가 $1+pk$인 등비 수열이므로,

\[X_n=X_0r^n=X_0(1+pk)^n \tag{6}\]

이다. **물론, 이 식만으로 전염병의 전파를 완전히 설명할 수는 없다.** 실제 상황에서는 감염자가 한 명이 만나는 사람의 수가 제각기 다르고, 마스크 착용과 손씻기와 같은 전염병 기본 수칙을 지켜 만나는 사람의 수에 비해 전염병을 적게 전파하는 사람들도 있다. 또한, 질병은 잠복기를 가지기도 하고, 시간이 지나면 질병이 나아 면역력이 생기기도 한다.

전염병의 수학적 모델링

위와 같이 전염병의 전파 상황을 수학적인 방법으로 해석하는 과정을 감염병의 수학적 모델링(Mathematical modelling of infectious disease)이라고 하며, 최근에 COVID-19의 확산으로 매우 활발히 연구되고 있는 분야이다. 전염병의 수학적 모델링과 관련한 3blue1brown의 두 영상을 시청한 다음 아래 질문에 답해보자.

https://www.youtube.com/watch?v=Kas0tIxDvrg&t=38s

https://www.youtube.com/watch?v=gxAaO2rsdIs

Questions
- 지수적 성장(Exponential Growth)은 무엇인가? 감염병 예측 문제에서 살펴 본 예시는 지수적 성장에 해당하는가?
  
  지수적 성장이란, 일정한 시간이 지날 때마다 어떠한 양에 일정한 수가 곱해지면서 증가하는 현상을 의미한다. 감염병 예측 문제에서는 하루가 지날 때마다 감염자의 수가 3배씩 증가했기 때문에 지수적 성장에 해당한다.
- 감염병의 지수적 성장이 계속된다면 무수히 많은 사람이 감염될 것이다. 하지만 세계 인구는 2021년 7월 기준 79억명으로 유한하며, 실제로는 무수히 많은 사람이 감염될 수 없다. 감염병의 전파 과정에서 지수적 성장이 멈추게 되는 요인을 말해보자.
  
  결국에는 감염자 수와 완치자 수가 점점 많아지게 되고, 그러면 감염자가 만나는 사람들 중에서 감염시킬 수 있는 사람의 수는 줄어들게 된다.
  
  한편, 외출 자제, 거리두기와 같은 방역 지침을 통해 사회가 감염병에 대응한다면, 감염자 한 명이 만나는 비감염자의 평균 명 수 $k$, 그리고 감염자가 비감염자를 만날 때마다 감염을 일으킬 확률 $p$를 줄일 수 있으며, 이를 충분히 줄여서 감염병으로부터 회복하는 사람의 수가 새로 감염되는 사람의 수보다 많아지면 전염병은 훨씬 일찍 사라질 수 있다.
- 전염병의 전파에 영향을 미치는 요인들을 최대한 많이 말해보자.
  
  코로나19 방역 수칙 (식품의약품안전처)
  
  병원균/바이러스 검사 및 자가격리, 개인 위생, 거리두기, 외출 자제, 마스크 착용, 소독, 환기 등이 있다.
- 감염병의 전파 과정에서 지수적 성장이 멈추는 요인을 고려하여, 식 $(5)$를 개선해보자.
  
  실제 상황을 생각하면, 감염자가 하루에 접촉하는 사람의 수가 같아도, 감염자가 하루에 접촉하는 ‘비감염자’의 수는 달라질 수 있다. 거의 대부분의 사람이 병에 걸리거나 나은 상황에서 한 사람이 감염시킬 수 있는 사람의 평균적인 수는 급격하게 줄어든다. 따라서, 하울나라에 살고 있는 사람의 수를 $X$로 제한하면, $n$번째 날에 전체 사람들 중 새로 감염될 가능성이 있는 사람의 비율 $S_n$은 전체 사람들 중 비감염자의 비율이므로

\[S_n=\frac{X-X_n}{X}=1-\frac{X_n}{X} \tag{7}\]

    이다. 감염자 한 명이 만나는 (비감염자 말고) 사람의 수가 평균적으로 $k$명이고 감염자가 비감염자를 만날 때마다 $p$의 확률로 감염시킨다고 가정하면 $n$번째 날에 감염된 사람의 수는 $\Delta X_n=X_{n+1}-X_n=pkS_nX_n$이고, 따라서 

\[X_{n+1}=X_n+pk\left(1-\frac{X_n}{X}\right)X_n \tag{8}\]