도전 과제 : 수열과 입체도형의 부피

본 자료는 인공지능을 활용하지 않고 작성되었음을 알립니다.

극한의 개념 (limits)

극한의 수렴 (Convergence of Limits)

극한의 개념에 대해서 간단하게 알아보자.

우선 수열은 자연수 하나에 실수 하나가 대응되는 화살 쏘기처럼 생각할 수 있다. 예를 들어, 등비수열 $a_n = 1.5^n$이 있다고 하면, 수열 $a_n$에 의해 자연수 $3$에 대응되는 실수는 $1.5^3$이다.

만약 수열 $a_n$에서 첨자 $n$이 충분히 커질 때 실수 $a_n$이 어떤 고정된 값 $A$에 한없이 가까워진다면, 이를 수열 $a_n$이 $A$로 수렴한다고 이야기하며, 아래 식과 같이 $\lim$ 기호로 나타낸다.

\[\lim_{n\rightarrow \infty} {a_n} = A\]

예를 들어, 수열 $a_n = 4-\frac{1}{n}$에서, $n$이 충분히 커질 때 $a_n$은 어떤 값으로 다가갈까?

극한의 발산 (Divergence of Limits)

만약 $n$이 충분히 커질 때 실수 $a_n$이 어떠한 고정된 값에도 다가가지 않을 때, 즉 $a_n$이 수렴하지 않을 때 수열 $a_n$은 발산한다고 이야기한다.

\[\lim_{n\rightarrow \infty} {a_n}\textrm{은 발산한다}\]

예를 들어, 수열 $a_n = 1.5^n$에서, $n$이 충분히 커질 때 $a_n$은 어떤 값으로 다가가지도 않고 그저 계속 커지기만 한다.

위의 예시처럼, 양의 방향으로 계속 커지면서 어떤 값에도 수렴하지 않는 수열을 특별히 무한대로 발산, 혹은 양의 무한대로 발산한다고 한다.

\[\lim_{n\rightarrow \infty} {a_n} =\infty\]

무한대로 발산하는 수열을 하나 더 생각해보자.

또 다른 경우로, 음의 방향으로 계속 작아지면서 어떤 값에도 수렴하지 않는 수열을 특별히 음의 무한대로 발산한다고 한다.

\[\lim_{n\rightarrow \infty} {a_n} =-\infty\]

음의 무한대로 발산하는 수열을 하나 생각해보자.
발산하지만, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지 않는 수열을 생각할 수 있는가? 이러한 수열을 진동한다고 표현한다.
Side Note

극한을 처음 배울 때, 무한대를 수로 착각하는 경우가 있다. 무한대는 (적어도 고등학교 범위 내에서는) 수가 아니다. 이는 그저 수열이 어디로 향하는지, 그 경향성을 나타내어주는 좋은 표기일 뿐이다.

합 공식과 $\Sigma$

이제 극한의 개념을 배웠다. 다음으로는 합 공식에 대해서 알아보자.

이번에는 수열의 합을 나타내기 위해 시그마($\Sigma$) 기호를 사용해보도록 하겠다. 시그마 표기에서는 합의 범위를 위와 아래에 숫자를 적어 나타내어준다. 예를 들어, 아래는 수열 $a_n$에 대해 $a_1$부터 $a_{10}$까지의 합을 나타낸다.

\[\sum_1^{10} {a_n}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{10}\]

좀 더 친절하게 어떤 문자를 변화시켜가며 항을 더하고 있는지를 나타내기 위해, 일반적으로는 문자의 이름을 시그마 기호 아래쪽에 함께 써준다. 또한, $n$의 범위는 원하는대로 자유롭게 조절할 수 있다. 예를 들어,

\[\sum_{n=301}^{307} {a_n}=a_{301}+a_{302}+a_{303}+a_{304}+a_{305}+a_{306}+a_{307}\]

위와 같은 식은 “$n$은 301부터 307까지 시그마 $a_n$”으로 읽으면 된다.

시그마 기호는 덧셈에 대해서 분리해서 쓸 수 있고, 상수를 곱했을 경우 안쪽에 곱하나 바깥쪽에 곱하나 똑같다. 즉,

\[\sum_{k=1}^n ca_k = c\sum_{k=1}^n a_k\]

$2+2^2+2^3+2^4+2^5$을 시그마 기호를 이용하여 나타내어라.
$\sum_{n=4}^6 n^2$의 값을 계산하여라.
$5/n+6/n+7/n+8/n+9/n$을 시그마 기호를 이용하여 나타내어라. (힌트: $n$ 대신 다른 변수를 사용해보자.)

어린 가우스가 $1$부터 $100$까지의 자연수들을 어떻게 더했는지 기억하는가? 만약 기억한다면 아래의 합 공식을 유도해보자.

\[\sum_{k=1}^{n} {k}=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]

시그마 k 합 공식을 그림으로 증명하는 방법 (math.utah.edu)

그렇다면 $k^2$을 $k=1$부터 $n$까지 더한 공식은 어떻게 유도해야 할까? 대칭성이 특별히 보이지도 않고, 그림으로 그리기에도 어려울 것 같아서 좀 고민이다. 하지만 똑똑한 수학자들은 텔레스코핑 기법을 이용하여 이를 구하는 방법을 생각해냈다. 아래 단계에 따라 스스로 유도해보기를 바란다.

증명할 것:

\[\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

단계 펼쳐보기
- 먼저, $(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1$을 $k=1$부터 $n$까지의 경우에 대해 모두 적어보자.
- 다음으로, 이 식들의 양변을 모두 더한 다음 소거할 수 있는 항들을 모두 소거해보자.
- 시그마 공식을 이용하여 소거된 식을 정리해보자.
- $\sum{k^2}$를 $\sum{k}$와 상수항을 이용하여 나타내보자.
- $\sum{k}$ 공식을 대입하고, 최종적으로 $\sum{k^2}$이 $n(n+1)(2n+1)/6$과 같은지 확인한다.

물론, 기하적인 풀이를 좋아하는 누군가가 도형을 이용해서 증명한 것도 있다. 하지만, 엄밀한 증명이라고 하기에는 어렵고, 참고만 하기를 바란다.

https://www.youtube.com/watch?v=aXbT37IlyZQ

부피를 수열의 합으로 나타낸다면?

닮음 삼각형을 발견

원기둥의 부피 $\frac{1}{3}\pi r^2 h$, 구의 부피 $\frac{4}{3}\pi r^3$를 유도해보자.