도전 과제 : 자와 컴퍼스

Created on July 15, 2021

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본 자료는 인공지능을 활용하지 않고 작성되었음을 알립니다.

라파엘로의 "아테네 학당" (출처: Wikipedia)

라파엘로의 “아테네 학당” (출처: Wikipedia)

아테네의 철학자와 사상가들이 한데 모인 이 그림에는

작도를 가르쳐주고 있는 유클리드가 있다…

기본 도구와 규칙

작도에서 사용하는 도구에는 자와 컴퍼스가 있다.

자 (Straightedge)

직선을 그릴 수 있는 도구

  1. 두 점을 잇는 선분을 새로 그리거나
  2. 이미 존재하는 선분을 연장할 수 있음
  3. 다른 거 안 됨
    • 자세한 정의

    The straightedge is infinitely long, but it has no markings on it and has only one straight edge, unlike ordinary rulers.

    작도에서의 자는 일반적인 자와는 달리 무한히 길고, 눈금이 없으며, 직선인 모서리 하나만을 가진다.

    The line drawn is infinitesimally thin point-width.

    자로 그리는 직선은 한없이 얇다.

    It can only be used to draw a line segment between two points, with infinite precision to those points, or to extend an existing segment.

    작도에서의 자는 오직 두 점을 잇는 선분을 새로 그리거나 이미 존재하는 선분을 연장하는 목적으로만 사용할 수 있으며, 무한히 정확하다고 가정한다.

    정의 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Straightedge_and_compass_construction

컴퍼스 (Compass)

원을 그릴 수 있는 도구

  1. 중심과 원 위의 한 점이 주어졌을 때 원을 그릴 수 있음
  2. 다른거 안 됨
    • 자세한 정의

    The compass can be opened arbitrarily wide, but (unlike some real compasses) it has no markings on it.

    컴퍼스는 원하는만큼 얼마든지 벌릴 수 있으며, 몇몇 실제 컴퍼스와는 달리 눈금이 없다.

    Circles can only be drawn starting from two given points: the centre and a point on the circle, and aligned to those points with infinite precision.

    원은 두 개의 점 - 원의 중심과 원 위의 한 점이 주어질 때만 그릴 수 있으며, 무한한 정확도로 정렬할 수 있다.

    The arc that is drawn is infinitesimally thin point-width.

    컴퍼스로 그리는 원은 한없이 얇다.

    The compass may or may not collapse when it is not drawing a circle.

    컴퍼스는 원을 그리고 있지 않을 때 닫혀 버릴 수도 있고, 아닐 수도 있다.

    정의 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Straightedge_and_compass_construction

그 외에 할 수 있는 것

  1. 이미 그려져 있는 도형(점, 직선, 원 …) 활용하기
  2. 평면 위의 정확하지 않은 점 찍기 (선택사항)
  3. 직선이나 원 위의 정확하지 않은 점 찍기 (선택사항)
  4. 컴퍼스로 길이 옮기기 (선택사항)
  5. 교점 찍기 (직선-직선, 직선-원, 원-원)

작도의 목적

이미 그려져 있는 도형들을 활용하여 목표하는 다른 도형을 그려내는 것

조건

  1. 정확하게
    • 근사적인 해결 방법은 정답으로 인정하지 않음
  2. 유한하게
    • 무한히 많은 획을 그려야 하는 해결 방법은 정답으로 인정하지 않음

준비 활동

https://www.euclidea.xyz/en/game/packs

alpha와 beta를 풀어봅시다.

영상 1 : 기하학적 계산기

https://www.youtube.com/watch?v=9VVPBS_flOI&list=LL&index=8&t=4s

  • 시작하기 전에
    • 길이 옮기기로 직선에 눈금을 만드는 방법을 생각해보자. (단, 단위 길이는 선분으로 주어진다고 가정)
    • 수직선을 작도하는 방법을 활용하여 점 $A$를 지나면서 직선 $l$에 평행한 직선을 작도해보자.
  • 멈춰야 할 지점
    • 1:54 - $3 \times 7$을 이 방법을 통해 계산해보고, 이러한 계산 방식이 가능한 이유를 설명해보자.
    • 2:06 - 나눗셈을 하는 방법을 예상해보자.
    • 4:05 - 제곱근의 계산 과정을 설명해보자.
    • 6:39 - 만약 어떤 실수 $a, b$가 실수로 주어진다면, $\sqrt{ab}$를 그림을 통해 계산할 수 있는가?

영상 2 : Challenge

https://www.youtube.com/watch?v=9yoCbk_z_08&list=LL&index=2&t=1s

멈춰야 할 지점

0:22 - 문제를 이해했다면, 작도를 통해 이를 풀 수 있는 방법을 5분 정도 고민해보자. 우리가 지금까지 배웠던 작도법을 이용해도 좋다!

0:40 - 삼각형과 넓이가 같은 직사각형을 작도하는 방법에 대해서 고민해보자.

1:11 - 이제 직사각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 방법에 대해서 고민해보자.

2:20 - 정사각형들의 넓이를 합쳐서 더 큰 정사각형을 만드는 방법에는 무엇이 있을까?

3:00 - 방금 본 애니메이션이 무슨 의미를 가질까? 연한 분홍색 영역의 넓이는 항상 일정할까?

3:35 - 지금까지의 살펴본 과정을 직접 설명해보자.