Day 2: Day 2 각종 기초 개념들
본 글은 영어로 최초 작성되었으며, Notion AI 기능을 활용하여 한국어로 번역되었음을 알립니다.
CH2 | Linear combinations, span, and basis vectors
문제 2.1
선형 결합, 스팬, 그리고 선형 독립의 이해.
(a) $\mathbb{R^2}$에 속하는 세 벡터의 선형 결합의 예시를 드시오. 구한 예시에서 세 벡터는 선형 독립인가?
(b) (i) 벡터의 선형 결합과 (ii) 벡터의 스팬(생성 집합)의 차이는? 다음 용어를 이용하여 답할 것 : 집합.
(c) 선형 독립의 개념을 설명하고, $\mathbb{R}^4$의 부분집합이면서 선형 독립인 집합의 예시를 한 개만 드시오.
(d) 동영상의 마지막 부분에서 제시된 퀴즈에 답하시오.
문제 2.2
\[\begin{align*} 3x_1 + 2x_2 - x_3 &= 0 \newline 6x_1 + 4x_2 - 2x_3 &= 0 \newline -3x_1 -2x_2 +x_3 &= 0 \end{align*}\](a) 위에서 제시된 연립 방정식을 만족하는 벡터 $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} x_1 \newline x_2 \newline x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$의 집합을 구하시오.
(b) $\mathbf{v}$를 선형 독립인 두 벡터의 선형 결합으로 표현하시오.
CH3 | Linear transformations and matrices
문제 3.1
선형 변환의 기본 개념.
(a) 변환의 개념을 설명하고, 이와 연관지어 선형 변환의 개념을 설명하시오.
(b) 행렬 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 \newline 3 & 4 \end{bmatrix}$가 $\mathbb{R}^2$에서 $\mathbb{R}^2$로 가는 선형 변환을 나타낸다고 하자. 두 기본 기저 벡터 $\mathbf{i}=\begin{bmatrix} 1 \newline 0 \end{bmatrix}$와 $\mathbf{j} = \begin{bmatrix} 0 \newline 1 \end{bmatrix}$는 선형 변환에 의해 어디로 대응되는가?
(c) 두 벡터 $\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 2 \newline 3 \end{bmatrix}$와 $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} -1 \newline 2 \end{bmatrix}$는 어디로 대응되는가? 이유를 간단히 설명하시오.
(d) 행렬 $A$가 행렬 $B=\begin{bmatrix}-1 & 2 \newline 2 & -4 \end{bmatrix}$로 대체될 때 (b), (c)를 다시 답해보자.
Note. 행렬은 대개 대문자로 표기한다. 가끔은 볼드체의 대문자로 표기하기도 한다.
문제 3.2
선형 변환의 엄밀한 정의. 두번째 동영상의 마지막 부분에서, 선형 변환의 엄밀한 정의가 간략히 소개된다.
(a) 엄밀한 정의를 쓰고
(b) 행렬 $A$를 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2$의 왼쪽에 곱하는 것으로 정의된 선형 변환 $L_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$가 선형 변환임을 보이시오. 즉, $L_A$가 (a)에서 정의된 선형 변환의 엄밀한 정의에 부합함을 보이시오.
Note. 아래의 행렬-벡터 곱셈 규칙을 참고하시오.
\[\begin{align*} A\mathbf{x}=\begin{bmatrix} a & b \newline c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \newline y\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} a \newline c\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \newline d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax+by \newline cx+dy\end{bmatrix} \end{align*}\]문제 3.3
행렬-벡터 곱셈 연습하기. 문제 3.2의 행렬-벡터 곱셈 규칙을 이용하여, 다음의 행렬-벡터곱을 하나의 벡터로 간단히 하시오 (물음표 채우기) :
(a) $A\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1 & 3 \newline 5 & -3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \newline 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ? \newline ?\end{bmatrix}$
(b) $B\mathbf{y}=\begin{bmatrix} -3 & -1 \newline 2 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \newline 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ? \newline ?\end{bmatrix}$
(c) 행렬-벡터 곱셈 규칙을 더 높은 차원으로 일반화하시오. $3 \times 3$ 행렬과 $3$-순서쌍의 행렬-벡터 곱셈을 계산하는 행렬-벡터 곱셈 규칙을 만들어보시오. 실제로는 임의의 $n$에 대해 $n \times n$ 행렬과 $n$-순서쌍에 대하여 일반화할 수 있다. 규칙을 찾아 일반화했다면 만든 공식을 사용하여 다음의 행렬-벡터곱을 계산해보시오.
(d) $C\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \newline 5 & -3 & 1 \newline 2 & 1 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \newline 1 \newline 2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ? \newline ? \newline ?\end{bmatrix}$
(e) $D\mathbf{w}=\begin{bmatrix} -3 & -1 & 4 \newline 2 & 2 & -1 \newline 3 & -1 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \newline 1 \newline 3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ? \newline ? \newline ?\end{bmatrix}$