Day 4: Day 4 다차원 선형 변환

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본 글은 영어로 최초 작성되었으며, Notion AI 기능을 활용하여 한국어로 번역되었음을 알립니다.

CH5 | Three-dimensional linear transformations

https://www.youtube.com/watch?v=rHLEWRxRGiM&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=5

문제 5.1

(a) 3차원 선형 변환에 대해 스스로 이해한 바를 설명하라.

(b) 고차원 선형 변환을 어떻게 시각화할 수 있는가? (또는 시각화하지 않는 것이 좋은가?)

문제 5.2

어떤 회전(선형 변환)이 기저 벡터 $\mathbf{i}=[1\;\;0\;\;0]^T,\; \mathbf{j}=[0\;\;1\;\;0]^T,\; \mathbf{k}=[0\;\;0\;\;1]^T$를 각각 $\mathbf{j}=[0\;\;1\;\;0]^T,\; \mathbf{k}=[0\;\;0\;\;1]^T,\; \mathbf{i}=[1\;\;0\;\;0]^T$로 매핑한다.

(a) 위의 회전을 나타내는 $3$차원 회전 행렬 $P$를 찾아라.

(b) 회전의 축과 회전각을 찾아라.

문제 5.3

$\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$로의 선형 변환. 이제, $\mathbb{R}^2$에서 $\mathbb{R}^3$로의 선형 변환을 생각하자. 이것은 다음의 $3 \times 2$ 행렬로 나타낼 수 있다.

\[\begin{align*} W=\begin{bmatrix} -3 & -1 \newline 2 & 2 \newline 3 & -1\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times2}. \end{align*}\]

Note. $\mathbb{R}^{m\times n}$은 모든 $m \times n$ 행렬의 집합을 나타낸다. 입력 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1 \newline x_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$가 $W\mathbf{x}=x_1\begin{bmatrix} -3 \newline 2 \newline 3 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -1 \newline 2 \newline 1 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3$로 매핑됨을 확인하라.

(a) 우리가 배운 것으로부터 생각해볼 때, $W\mathbf{x}$가 $[-3 \;\; 2 \;\; 3 ]^T$와 $[-1 \;\; 2 \;\; 1]^T$의 선형 조합임을 알 수 있다. 만약 $\mathbf{x}$가 $\mathbb{R}^2$의 모든 곳을 돌아다닌다면, $\textrm{Im}(L_W)$의 모양은 어떻게 될까? 즉, 아래의 집합의 모양을 찾아라.

\[\textrm{Im}(L_W)=\left\{W\mathbf{x}\;|\;\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2\right\} \subset \mathbb{R}^3.\]

• Note. $L_W$가 행렬 $W$로 주어진 선형 변환을 나타낸다고 할 때 위의 집합을 $L_W$의 이미지라고 한다. 가끔은 $L_W$의 치역이라고도 부른다.

(b) $W\mathbf{x}$가 도달할 수 없는 $\mathbb{R}^3$의 한 점을 찾을 수 있는가? $\textrm{Im}(L_W)$에 속하지 않는 $\mathbb{R}^3$의 한 점을 찾아라.

(c) $W$가 $W’=\begin{bmatrix} 3 & -1 \newline -6 & 2 \newline 3 & -1\end{bmatrix}$로 대체된다고 가정하자. $\textrm{Im}(L_W)$의 모양이 어떻게 바뀔까?

(d) $M \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$에 대한 $\textrm{Im}(L_M)$의 모든 가능한 모양과 각각의 조건, 그리고 각 경우에 대응하는 $M$의 조건을 나열하라. $\textrm{Im}(L_M)$이 $\mathbb{R}^3$와 같을 수 있는가?

(e) $W^T=\begin{bmatrix} -3 & 2 & 3 \newline -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$, $(W’)^T=\begin{bmatrix} 3 & -6 & 3 \newline -1 & 2 & -1\end{bmatrix}$로 (a), (b), (c)를 풀어라. 상황이 어떻게 다른가?

(f) $M \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$로 가정하고 (d)를 다시 풀어라. $\textrm{Im}(L_M)$이 $\mathbb{R}^2$와 같을 수 있는가?