개념 익히기 : 인수 정리를 이용한 인수분해

본 자료는 인공지능을 활용하지 않고 작성되었음을 알립니다.

인수 정리는 아래와 같다:

➕ 임의의 다항식 $p(x)$에 대하여, $p(a)=0$을 만족하는 실수 $a$가 존재할 때 $p(x)=(x-a)Q(x)$를 만족하는 다항식 $Q(x)$가 유일하게 존재한다.

인수 정리를 이용하여 아래 문제들을 풀어볼 것이다.

다음 식을 인수분해하시오 (숙제):

$x^3-4x^2+x+6$
$2x^3+7x^2-14x+5$
$2x^3-7x^2-2x-8$

처음 풀어보면 좀 많이 어려울 것이다. 그래서 힌트를 남기자면:

위 식들은 반드시 1개 이상의 유리수 근을 가진다.
아래의 유리근 정리를 살펴보라.

유리근 정리란?

➕ 다항식 $f(x)$의 계수가 모두 정수이고, $f(a)=0$을 만족하는 유리수 $a$가 존재할 때 $a= \pm \frac{

상수항의\;약수

}{

최고차항의\;계수의\;약수

}$의 형태일 수밖에 없다.

증명 : 유리근 정리

정리가 성립한다는 가정 하에, 이를 이용해서 문제를 푸는 방법을 먼저 살펴보자.

다음 식을 인수분해하시오:

$p(x)=2x^3-5x^2-4x+3$

이때, $p(x)$는 다항식이고, 계수가 모두 정수이기 때문에 유리근 정리를 사용할 수 있다. 최고차항의 계수 $2$의 약수로는 ${1, 2}$가 있고, 상수항 $3$의 약수는 ${1, 3}$이 있다. 따라서, $f(a)=0$을 만족하는 유리수 $a$로서 가능한 값의 모임은 ${+\frac{1}{1}, -\frac{1}{1}, +\frac{3}{1}, -\frac{3}{1}, +\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, +\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}}\newline ={1, -1, 3, -3, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2}}$ 이다.

각 유리수를 $p(x)$에 대입해보면 (계산량에 겁먹지 말자. 실제로 하는 계산은 이것보다 훨씬 적다)

$p(1)=2 \times 1^3 - 5 \times 1^2 -4 \times 1 +3=-4 \ne 0$

$p(-1)=2 \times (-1)^3 - 5 \times (-1)^2 -4 \times (-1) +3=0$

$p(3)=2 \times 3^3-5\times3^2-4\times3+3=0$

$p(-3)=2 \times (-3)^3-5\times(-3)^2-4\times(-3)+3\ne0$

$p(\frac{1}{2})=2 \times (\frac{1}{2})^3-5\times(\frac{1}{2})^2-4\times(\frac{1}{2})+3\ne0$

$p(-\frac{1}{2})=2 \times (-\frac{1}{2})^3-5\times(-\frac{1}{2})^2-4\times(-\frac{1}{2})+3=0$

$p(\frac{3}{2})=2 \times (\frac{3}{2})^3-5\times(\frac{3}{2})^2-4\times(\frac{3}{2})+3\ne0$

$p(-\frac{3}{2})=2 \times (-\frac{3}{2})^3-5\times(-\frac{3}{2})^2-4\times(-\frac{3}{2})+3\ne0$

즉, $p(a)=0$을 만족하는 유리수 $a$는 $-1, 3, -\frac{1}{2}$ 중 하나이다.

인수 정리를 연쇄적으로 사용하면

$p(x)=(x+1)Q_2(x)=(x+1)(x-3)Q_1(x)\newline =(x+1)(x-3)(x+\frac{1}{2})Q_0(x)$

이때, $p(x)$는 3차식이므로, $Q_0(x)$는 0차식, 즉 상수일 수밖에 없다. 따라서 $Q_0(x)=k$라는 상수로 둘 수 있는데, 최고차항의 계수를 비교하면 $k=2$라는 결과를 얻는다.

따라서 인수분해한 결과는:

$p(x)=2(x+1)(x-3)(x+\frac{1}{2})$

이다.

더 쉽게 풀 수는 없을까?

계산량이 정~말 많다.

이것을 실제로 다 계산하고 있으면 문제 하나 풀다가 시간이 다 가버릴 것이다.

직접 계산을 겪어보면서 계산량을 줄일 수 있는 전략을 두 가지 이상 제시해보자.

힌트: 위 계산을 정말로 다 계산해야지만 삼차식의 인수를 알 수 있을까?